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c++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
c++算法：滑动窗口总结
多重背包
leetcode2902. 和带限制的子多重集合的数目
给你一个下标从 0 开始的非负整数数组 nums 和两个整数 l 和 r 。
请你返回 nums 中子多重集合的和在闭区间 [l, r] 之间的 子多重集合的数目 。
由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。
子多重集合 指的是从数组中选出一些元素构成的 无序 集合，每个元素 x 出现的次数可以是 0, 1, …, occ[x] 次，其中 occ[x] 是元素 x 在数组中的出现次数。
注意：
如果两个子多重集合中的元素排序后一模一样，那么它们两个是相同的 子多重集合 。
空 集合的和是 0 。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2,3], l = 6, r = 6
输出：1
解释：唯一和为 6 的子集合是 {1, 2, 3} 。
示例 2：
输入：nums = [2,1,4,2,7], l = 1, r = 5
输出：7
解释：和在闭区间 [1, 5] 之间的子多重集合为 {1} ，{2} ，{4} ，{2, 2} ，{1, 2} ，{1, 4} 和 {1, 2, 2} 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,1,3,5,2], l = 3, r = 5
输出：9
解释：和在闭区间 [3, 5] 之间的子多重集合为 {3} ，{5} ，{1, 2} ，{1, 3} ，{2, 2} ，{2, 3} ，{1, 1, 2} ，{1, 1, 3} 和 {1, 2, 2} 。
提示：
1 <= nums.length <= 2 * 104
0 <= nums[i] <= 2 * 104
nums 的和不超过 2 * 104 。
0 <= l <= r <= 2 * 104
动态规划
vcnt[i]记录i在nums中出现的次数，vcnt[i]不为0的数目不超过200个。
子多重集合 就是子序列。
i为0要特殊处理，否则会死循环。
动态规划的状态表示
dp[i][j] 表示 ，从[0,i]中选取若干个数和为j的可能数。状态数：o(200r)。
注意用滚动向量vpre、dp实现。
由于unorder_map 大约是o(10)，所以有超时的风险。直接vector<vector<>> 空间复杂度是:o(nr)，空间会超。
利用前缀和优化转移方程
计算后置状态：
dp[j] =
∑
x
:
0
v
c
n
t
[
i
]
v
p
r
e
[
j
−
x
×
i
]
s
.
t
j
−
x
×
i
>
=
0
\large\sum_{x:0}^{vcnt[i]}vpre[j-x\times i] \quad s.t \quad j-x \times i>=0
∑x:0vcnt[i]vpre[j−x×i]s.tj−x×i>=0
显然，可以用前缀和优化。
转移方程的时间复杂度为:o(1)，总时间复杂度为o(200r)。
动态规划的填表顺序
i从大到小。从小到大似乎也没问题。
动态规划的初始值
vpre[0]=1
动态规划的范围值
∑ x : l r v p r e [ x ] \large \sum _{x:l}^r vpre[x] ∑x:lrvpre[x]
代码
核心代码
template<int mod = 1000000007>
class c1097int
{
public:
c1097int(long long lldata = 0) :m_idata(lldata% mod)
{
}
c1097int operator+(const c1097int& o)const
{
return c1097int(((long long)m_idata + o.m_idata) % mod);
}
c1097int& operator+=(const c1097int& o)
{
m_idata = ((long long)m_idata + o.m_idata) % mod;
return *this;
}
c1097int& operator-=(const c1097int& o)
{
m_idata = (m_idata + mod - o.m_idata) % mod;
return *this;
}
c1097int operator-(const c1097int& o)
{
return c1097int((m_idata + mod - o.m_idata) % mod);
}
c1097int operator*(const c1097int& o)const
{
return((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
}
c1097int& operator*=(const c1097int& o)
{
m_idata = ((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
return *this;
}
bool operator<(const c1097int& o)const
{
return m_idata < o.m_idata;
}
c1097int pow(long long n)const
{
c1097int iret = 1, icur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iret *= icur;
}
icur *= icur;
n >>= 1;
}
return iret;
}
c1097int pownegative1()const
{
return pow(mod - 2);
}
int toint()const
{
return m_idata;
}
private:
int m_idata = 0;;
};
class solution {
public:
int countsubmultisets(vector<int>& nums, int left, int r) {
const int imax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
vector<int> vcnt(1 + imax);
for (const auto& n : nums)
{
vcnt[n]++;
}
vector<c1097int<>> vpre(r + 1);
vpre[0] = 1;
for (int i = imax; i >= 0; i--)
{
if (0 == vcnt[i])
{
continue;
}
vector<c1097int<>> dp(r + 1);
if (0 == i)
{
for (int k = 0; k <= r; k++)
{
dp[k] = vpre[k] * (1 + vcnt[i]);
}
}
else
{
for (int m = 0; m < i; m++)
{
c1097int<> iisum = 0;
for (int k = m; k <= r; k += i)
{
iisum += vpre[k];
const int delindex = k - (vcnt[i] + 1) * i;
if (delindex >= 0)
{
iisum -= vpre[delindex];
}
dp[k] = iisum;
}
}
}
vpre.swap(dp);
}
c1097int<> biret = std::accumulate ( vpre.begin() + left, vpre.begin() + r + 1, c1097int<>());
return biret.toint();
}
};
测试用例
emplate<class t, class t2>
void assert(const t& t1, const t2& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class t>
void assert(const vector<t>& v1, const vector<t>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
vector<int> nums;
int l, r;
{
solution sln;
nums = { 1, 2, 2, 3 }, l = 6, r = 6;
auto res = sln.countsubmultisets(nums, l, r);
assert(1, res);
}
{
solution sln;
nums = { 2, 1, 4, 2, 7 }, l = 1, r = 5;
auto res = sln.countsubmultisets(nums, l, r);
assert(7, res);
}
{
solution sln;
nums = { 1, 2, 1, 3, 5, 2 }, l = 3, r = 5;
auto res = sln.countsubmultisets(nums, l, r);
assert(9, res);
}
}
扩展阅读
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： vs2019 c++17
或者 操作系统：win10 开发环境： vs2022 c++17
如无特殊说明，本算法用**c++**实现。
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