【动态规划 状态机dp 性能优化】3098. 求出所有子序列的能量和

本文涉及知识点

动态规划 状态机dp 性能优化

leetcode3098. 求出所有子序列的能量和

给你一个长度为 n 的整数数组 nums 和一个 正 整数 k 。
一个子序列的 能量 定义为子序列中 任意 两个元素的差值绝对值的 最小值 。
请你返回 nums 中长度 等于 k 的 所有 子序列的 能量和 。
由于答案可能会很大，将答案对 109 + 7 取余 后返回。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4], k = 3
输出：4
解释：
nums 中总共有 4 个长度为 3 的子序列：[1,2,3] ，[1,3,4] ，[1,2,4] 和 [2,3,4] 。能量和为 |2 - 3| + |3 - 4| + |2 - 1| + |3 - 4| = 4 。
示例 2：
输入：nums = [2,2], k = 2
输出：0
解释：
nums 中唯一一个长度为 2 的子序列是 [2,2] 。能量和为 |2 - 2| = 0 。
示例 3：
输入：nums = [4,3,-1], k = 2
输出：10
解释：
nums 总共有 3 个长度为 2 的子序列：[4,3] ，[4,-1] 和 [3,-1] 。能量和为 |4 - 3| + |4 - (-1)| + |3 - (-1)| = 10 。

提示：
2 <= n == nums.length <= 50
-10⁸ <= nums[i] <= 10⁸
2 <= k <= n

动态规划（状态机dp)初版

动态规划的状态 表示

pre 表示已经处理完前x个数组符合条件的数量,dp表示已经处理完x+1数组符合条件的数量。

pre[i][j][end][len] 表示此子序列：
a，长度为len。
b,以nums[end]结束。
c,nums[j]-nums[i]的差最小。如果多个(i,j)符合条件，取最小的。比如：{1,2,3}的(i,j)是{0,1}而不是{1,2}。
空间复杂度：o(nnnk)
dp类似。

动态规划的转移方程

只需要从x 推导x+1，不需要推导x+2,x+3 $\cdots$ ，如果硬要的话需要用前缀和（后缀和）。　
$$\{\begin{array}{llc}dp=pre& & 不选择nums[x]\\ dp[i][j][x][len+1]+=...& & else且nums[j]-nums[i]<=nums[x]-nums[end]\\ dp[end][x][x][len+1]+=...else& & \end{array}$$
时间复杂度：o(nnnkn) 估计超时
剪枝：
枚举的时候确保 i < j ，且 j <= x。

动态规划+前缀和

拆分成若干个子问题，假定序列存在(i,j)，且此序列的能力为power = nums[j]-nums[i]。

动态规划的状态表示

dp[len][end] 表示 子序列的长度为len，最后一个元素是end。
空间复杂度：o(kn)

利用前缀和优化 动态规划的转移方程

枚举end，end not $\in$(i,j) ，否则此序列的能量就不是nums[j]-nums[i]了。
$$\{\begin{array}{llc}oldend\in [0,end)且nums[end]-nums[oldend]>power& & end<=i\\ oedend\in (end,n)且nums[end]-nums[oldend]>=power& & end>=j\end{array}$$

如果不利用前缀和优先，时间复杂度：o(knn)，利用前缀和优化o(kn)。
总时间复杂度：o(knkn)。

动态规划的初始状态

枚举所有长度为2

动态规划的填表顺序

${}_{len=3}^n$

动态规划的返回值

len == k 且 end >=j 才是需要统计的子序列数量。

代码

没用前缀和优化

理论上过不了，实际过了。

template<int mod = 1000000007>
class c1097int
{
public:
	c1097int(long long lldata = 0) :m_idata(lldata% mod)
	{

	}
	c1097int  operator+(const c1097int& o)const
	{
		return c1097int(((long long)m_idata + o.m_idata) % mod);
	}
	c1097int& operator+=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = ((long long)m_idata + o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	c1097int& operator-=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = (m_idata + mod - o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	c1097int  operator-(const c1097int& o)
	{
		return c1097int((m_idata + mod - o.m_idata) % mod);
	}
	c1097int  operator*(const c1097int& o)const
	{
		return((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
	}
	c1097int& operator*=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = ((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	bool operator==(const c1097int& o)const
	{
		return m_idata == o.m_idata;
	}
	bool operator<(const c1097int& o)const
	{
		return m_idata < o.m_idata;
	}
	c1097int pow(long long n)const
	{
		c1097int iret = 1, icur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iret *= icur;
			}
			icur *= icur;
			n >>= 1;
		}
		return iret;
	}
	c1097int pownegative1()const
	{
		return pow(mod - 2);
	}
	int toint()const
	{
		return m_idata;
	}
private:
	int m_idata = 0;;
};

class solution {
public:
	int sumofpowers(vector<int>& nums, const int k) {
		m_c = nums.size();
		sort(nums.begin(), nums.end());		
		c1097int<> biret = 0;
		for (int i = 0; i < m_c; i++) {
			for (int j = i + 1; j < m_c; j++) {
				auto cur = do(nums, i, j, k);
				biret += cur;
				//std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.toint() <<  std::endl;
			}
		}
		return biret.toint();
	}
	c1097int<> do(const vector<int>& nums,int i,int j, const int k) {
		const int idiff = nums[j] - nums[i];
		vector<vector<c1097int<>>> dp(k + 1, vector<c1097int<>>(m_c));
		for (int end = 0; end <= i; end++) {
			for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {
				if (nums[end] - nums[end1] > idiff) {
					dp[2][end] += 1;
				}
			}
		}
		dp[2][j] = 1;
	
		for (int len = 3; len <= k; len++) {
			for (int end = 0; end <= i; end++) {
				for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {
					if (nums[end] - nums[end1] > idiff) {
						dp[len][end] += dp[len - 1][end1];
					}
				}
			}
			dp[len][j] = dp[len - 1][i];
			for (int end = j+1; end < m_c; end++) {
				for (int end1 = j; end1 < end; end1++) {
					if (nums[end] - nums[end1] >= idiff) {
						dp[len][end] += dp[len - 1][end1];
					}
				}
			}
		}
		return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), c1097int<>())*idiff;
	}
	int m_c;
};

测试用例

int main()
{
	vector<int> nums;
	int k;
	
	{
		solution sln;
		nums = { 6,14,4,13 }, k = 3;
		auto res = sln.sumofpowers(nums, k);
		assert(6, res);
	}
	{
		solution sln;
		nums = { 1,2,3,4 }, k = 3;
		auto res = sln.sumofpowers(nums, k);
		assert(4, res);
	}
	{
		solution sln;
		nums = { 4,3,-1 }, k = 2;
		auto res = sln.sumofpowers(nums, k);
		assert(10, res);
	}

	{
		solution sln;
		nums = { 2,2 }, k = 2;
		auto res = sln.sumofpowers(nums, k);
		assert(0, res);
	}
	{
		solution sln;
		nums = { 2,246006,496910,752786,1013762,1279948,1551454,1828436,2110982,2399316,2693558,2993942,3300640,3613766,3933442,4259696,4592656,4932556,5279494,5633522,5994678,6363102,6739028,7122528,7513792,7913044,8320394,8736004,9160062,9592750,10034184,10484602,10944108,11412852,11891048,12378822,12876346,13383746,13901098,14428528,14966126,15514010,16072380,16641300,17220904,17811360,18412850,19025600,19649778,20285440 }, k = 37;
		auto res = sln.sumofpowers(nums, k);
		assert(273504325, res);
	}
}

利用前缀和优化：用时减少不到50%

template<int mod = 1000000007>
class c1097int
{
public:
	c1097int(long long lldata = 0) :m_idata(lldata% mod)
	{

	}
	c1097int  operator+(const c1097int& o)const
	{
		return c1097int(((long long)m_idata + o.m_idata) % mod);
	}
	c1097int& operator+=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = ((long long)m_idata + o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	c1097int& operator-=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = (m_idata + mod - o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	c1097int  operator-(const c1097int& o)
	{
		return c1097int((m_idata + mod - o.m_idata) % mod);
	}
	c1097int  operator*(const c1097int& o)const
	{
		return((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
	}
	c1097int& operator*=(const c1097int& o)
	{
		m_idata = ((long long)m_idata * o.m_idata) % mod;
		return *this;
	}
	bool operator==(const c1097int& o)const
	{
		return m_idata == o.m_idata;
	}
	bool operator<(const c1097int& o)const
	{
		return m_idata < o.m_idata;
	}
	c1097int pow(long long n)const
	{
		c1097int iret = 1, icur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iret *= icur;
			}
			icur *= icur;
			n >>= 1;
		}
		return iret;
	}
	c1097int pownegative1()const
	{
		return pow(mod - 2);
	}
	int toint()const
	{
		return m_idata;
	}
private:
	int m_idata = 0;;
};

class solution {
public:
	int sumofpowers(vector<int>& nums, const int k) {
		m_c = nums.size();
		sort(nums.begin(), nums.end());
		c1097int<> biret = 0;
		for (int i = 0; i < m_c; i++) {
			for (int j = i + 1; j < m_c; j++) {
				auto cur = do(nums, i, j, k);
				biret += cur;
				//std::cout << " i :" << i << " j:" << j << " " << cur.toint() <<  std::endl;
			}
		}
		return biret.toint();
	}
	c1097int<> do(const vector<int>& nums, int i, int j, const int k) {
		const int idiff = nums[j] - nums[i];
		vector<vector<c1097int<>>> dp(k + 1, vector<c1097int<>>(m_c));
		for (int end = 0; end <= i; end++) {
			for (int end1 = 0; end1 < end; end1++) {
				if (nums[end] - nums[end1] > idiff) {
					dp[2][end] += 1;
				}
			}
		}
		dp[2][j] = 1;

		for (int len = 3; len <= k; len++) {
			int end1 = 0;
			c1097int<> biret = 0;
			for (int end = 0; end <= i; end++) {
				while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] > idiff)) {
					biret += dp[len - 1][end1];
					end1++;
				}
				dp[len ][end] = biret;
			}
			dp[len][j] = dp[len - 1][i];
			c1097int<> biret2 = 0;
			for (int end = j + 1,end1=j ; end < m_c; end++) {
				while ((end1 < end) && (nums[end] - nums[end1] >= idiff)) {
					biret2 += dp[len - 1][end1];
					end1++;
				}
				dp[len][end] = biret2;
			}
		}
		return std::accumulate(dp.back().begin() + j, dp.back().end(), c1097int<>()) * idiff;
	}
	int m_c;
};

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： vs2019 c++17
或者 操作系统：win10 开发环境： vs2022 c++17
如无特殊说明，本算法用**c++**实现。